Jeu mathématique #2

Un cas de jurisprudence en Californie il y a quelques années soulève un problème mathématique intéressant Voulant attirer dans ses rêts les gros joueurs, un casino avait recruté un joueur professionnel aux conditions suivantes: vous disposez de jetons d’une valeur de $ 5 millions pour “flamber” dans notre casino. Tout ce que vous gagnez au delà de 5 millions vous est acquis et si vous perdez les 5 millions vous ne nous devez rien. Il joua et perdit tout. Comme de bien entendu, le fisc s’en est mêlé arguant qu’il devait l’impôt sur un revenu de $ 5 millions. En première instance, le tribunal s’est rangé à l’avis du fisc mais en appel, la cour a cassé, raisonnant que les $ 5 millions ne constituaient pas  réellement un revenu entre les mains du joueur e t  et celui-ci   ne devait donc pas d’impôt sur le revenu sur ces $ 5 millions.

D’un point de vue strictement mathématique, faisant l’hypothèse que le joueur jouait au casino la stratégie lui donnant les meilleures chances contre le casino ( le “pass-line bet” au jeu de “craps”,en arrondissant, donne 50,3% pour le casino  et 49,7% pour le joueur et paye $1 pour chaque $1 joué si le joueur gagne) la décision de la cour d’appel était-elle justifiée? En d’autres termes, dans l’hypothèse précitée, la mise à disposition de $5 millions avait-elle néanmoins une valeur?

Supposons maintenant qu’un joueur décavé en est à son dernier billet de $100 et qu’il lui faut $200  pour pouvoir rentrer chez lui, somme qu’il ne veut pas, pour des raisons évidentes, demander à sa chère et tendre. Prenant pour acquis qu’il va jouer la stratégie du pass line bet avec à chaque fois 49,7% de chances de gagner et l’espérance de toucher une somme égale à sa mise s’il gagne, quelle est sa stratégie optimale s’il veut gagner juste assez pour rentrer chez lui: jouer $5 chaque fois,$20 chaque fois ? De la réponse, mathématiquement justifiée, quelles conclusions peut-on  tirer sur les stratégies optimales à adopter  pour maximiser ses chances de gagner   dans un jeu à somme zéro où l’on est soit le joueur le plus fort soit le joueur le plus faible?

Réponse au jeu mathématique #1

Il s’agissait de déterminer, de tête de préference et en tous les cas sans calculatrice ou ordinateur ,quel est le plus grand des nombres entre:

Cas 1: Eqn001 et Eqn002,cas 2 :  Eqn019et  Eqn007,cas 3:, Eqn014,Eqn019et Eqn007

Aucun de mes amis sortis des grandes écoles scientifiques ne m’a envoyé l’élégante solution qui permet,au moins pour les cas 1 et 2 de trouver de tête la solution.Silence également de la part de mes lecteurs anonymes.

Voici donc la solution:les 3 racines peuvent s’écrire ,Eqn008,Eqn009et Eqn010 .Dans tous les cas,il suffit de trouver le plus grand commun diviseur  (pgcd) des exposants (rappelons nous les cours d’arithmétique de Math Elem! ).Ainsi,pour le cas 1,il suffit de monter à la puissance du pgcd (2,3)=6 soit,Eqn012 et Eqn011.Comme 9 est plus grand que 8 ,il s’en suit que  Eqn019> Eqn014.Pour le cas 2, Eqn015= Eqn016= 243 et Eqn017=Eqn018=125 donc  Eqn019>Eqn004.Voila!

P.S. Pour le cas 3,l’emploi d’une feuille de papier est permis!

BBC Forum: Chaos theory, money and patients

On Sunday May 9, 2009 the BBC Forum (listen here) convened Lord Robert May, former scientific adviser to the British government, Gillian Tett, financial analyst and social anthropologist, and Abraham Verghese, doctor and author. Lord May showed how a very simple equation can be used to create a situation of chaos. His analysis, applicable to ecological changes as well as to epidemics, showed very clearly how a small change in initial conditions can create vastly different results. Gillian Tett, using her dual background presented a fascinating view of the lure of money and Dr.Verghese showed how the ritual of personal examination of a patient by the doctor fulfills an important therapeutic role-an observation worth pondering in this age of medicine by machines and of doctors who, pressured by costs and by greed, hardly spend any time with their patients preferring to rely on test results in lieu of personal observation.

Math Quiz #1

Without using a calculator or a computer,determine which of the square root of 2 and cubic root of 3 is the greater number ,which of the cubic root of 3 and the fifth root of 5 is the greater one and as bonus question  which of the 3 roots is the larger number?