Jeu mathématique #2

Un cas de jurisprudence en Californie il y a quelques années soulève un problème mathématique intéressant Voulant attirer dans ses rêts les gros joueurs, un casino avait recruté un joueur professionnel aux conditions suivantes: vous disposez de jetons d’une valeur de $ 5 millions pour “flamber” dans notre casino. Tout ce que vous gagnez au delà de 5 millions vous est acquis et si vous perdez les 5 millions vous ne nous devez rien. Il joua et perdit tout. Comme de bien entendu, le fisc s’en est mêlé arguant qu’il devait l’impôt sur un revenu de $ 5 millions. En première instance, le tribunal s’est rangé à l’avis du fisc mais en appel, la cour a cassé, raisonnant que les $ 5 millions ne constituaient pas  réellement un revenu entre les mains du joueur e t  et celui-ci   ne devait donc pas d’impôt sur le revenu sur ces $ 5 millions.

D’un point de vue strictement mathématique, faisant l’hypothèse que le joueur jouait au casino la stratégie lui donnant les meilleures chances contre le casino ( le “pass-line bet” au jeu de “craps”,en arrondissant, donne 50,3% pour le casino  et 49,7% pour le joueur et paye $1 pour chaque $1 joué si le joueur gagne) la décision de la cour d’appel était-elle justifiée? En d’autres termes, dans l’hypothèse précitée, la mise à disposition de $5 millions avait-elle néanmoins une valeur?

Supposons maintenant qu’un joueur décavé en est à son dernier billet de $100 et qu’il lui faut $200  pour pouvoir rentrer chez lui, somme qu’il ne veut pas, pour des raisons évidentes, demander à sa chère et tendre. Prenant pour acquis qu’il va jouer la stratégie du pass line bet avec à chaque fois 49,7% de chances de gagner et l’espérance de toucher une somme égale à sa mise s’il gagne, quelle est sa stratégie optimale s’il veut gagner juste assez pour rentrer chez lui: jouer $5 chaque fois,$20 chaque fois ? De la réponse, mathématiquement justifiée, quelles conclusions peut-on  tirer sur les stratégies optimales à adopter  pour maximiser ses chances de gagner   dans un jeu à somme zéro où l’on est soit le joueur le plus fort soit le joueur le plus faible?

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